Montage des plumes en hélicoïdal

Les fabriquants d'accessoires tels que les plumes offrent des modèles formés pour mettre une flèche en rotation lors de son vol (X-wings, spin wings, quick spin...).

Un empennage droit monté avec ce matériel améliore le groupement des flèches, et un empennage hélicoïdale peut avoir le même effet monté avec des plumes normales.

Jean-Eric, un archer "scientifiquement correct" et physicien du CNRS, me posait quelques questions par l'intermédiaire du blog et je lui répondais bien volontiers par mon point de vue technique. Son site Internet http://jecampagne.free.fr/ nous offre une montagne de renseignements aussi techniques que scientifiques en rapport avec le tir à l'arc et ses satellites.

Il y a quelques temps, nous abordions ce sujet et l'effet désirable qu'il apporte sur la stabilité d'une flèche en vol : oui, mais jusqu'à quel point ?

Honnètement, je n'ai pas de charte me permettant le calcul des flèches, c'est un peu "Pifomètre". Les plumes ne doivent pas être trop inclinées pour ne pas toucher la lame de repose-flèche en sortant de l'arc, et Jean-eric ajoute qu'à partir d'un angle trop grand, les plumes feront tourner le l'arrière tube en dehors de son axe arc / cible, chose que je soutiens suite à mes essais. Il faudra respecter un décalage n'excédant pas 3 mm pour des plumes de 4", et 2 mm pour des plumes d'extérieur (environ). Aussi, des plumes trop légères pourraient augmenter cet effet et rendre le groupement médiocre.

Au cours de cette conversation sympathique, je me suis risqué à "brancher" un scientifique... Je l'ai invité à "rapprocher les effets de la force de Coriolis, la loi de Buys Ballot, sa latitude et son altitude" pour trouver le bon rapport vitesse – rotation qui améliorera le groupement. Ceci bien sûr en lui rappelant que dans cette histoire le scientifique n'est pas moi, mais lui !!!

 

Voici sa réponse qu'il a ensuite repris dans un article de son site Internet. Imaginez ma tête lorsque je l'avais reçu par Email...

Je m'incline et sans même tenter un barrage...

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"Pierre-Julien,

Je viens de faire un petit calcul et vraiment on peut oublier l'effet gyroscopique des empennages décalés. En effet, la stabilisation gyroscopique a pour conséquence que la vitesse angulaire sur un des axes perpendiculaires à l'axe de rotation (vitesse de précession) est très petite par rapport à la vitesse de rotation sur l'axe (imagine une simple toupie)."

 

Cet article est motivée par une discussion par mail avec Pierre-Julien Deloche qui a donné lieu à un article sur son blog, puis à un article soumis au magazine Archery Lifestyle en commun.

De quoi s’agit-il ? Et bien, le collage de nos plumes peut se faire soit dans l’axe de symétrie des tubes ou bien avec un angle (offset en anglais), ou bien encore à utiliser des plumes spiralées sur elle-même (Spin Wing ou bien l'Impulse de chez Bohning). Je me suis demandé quel est l’effet réel de faire tourner sur elle-même la flèche en vol. Plus précisément, cet article répond quantitativement sur la question de la stabilisation gyroscopique ?

Effet gyroscopique : quezaquo ?

Le plus démonstratif est une vidéo que vous pouvez voir ICI. En fait une simple toupie peut faire l’affaire après l’avoir mis en rotation donner un petit coup perpendiculairement à l’axe de rotation et vous verrez l’axe de la toupie tourner dans un plan horizontal (on dit précession). Si le terme précession, vous dit quelque chose, et bien peut être que vous pensez à la précession des équinoxes (Voir ici qui n’est rien d’autre qu’une manifestation du fait que notre Terre est une grosse toupie...

Bon, l’effet gyroscopique maintient l’axe de la toupie dans une direction précise dans un référentiel inertiel et qu’une perturbation n’entrainera qu’une mise en rotation de ce dernier. Comme dit dans la première Vidéo cela sert en aviation, mais également les torpilles dés la seconde guerre mondiale étaient équipées d’une piéce mobile mise en rotation rapide avant le lancement pour garantir une trajectoire rectiligne de celles-ci. Le canon rayé de certaines armes permettent également la mise en rotation des balles à cette fin. D’où la question : qu’en est-il de nos flèches ?

Stabilisation gyroscopique : est-elle possible ?

Ce n’est pas le lieu de cet article pour développer le formalisme du tenseur d’inertie et l’application du théorème du moment cinétique.
La conséquence directe d’une mise en action de l’effet de stabilisation gyroscopique est que   (voir notation sur le schema)

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avec

  •  69471f2f3526a28e3485b0955bf55d90: la vitesse de rotation autour de l’axe principal (supposée suffisamment grande pour que l’effet gyroscopique soit en place) ;
  •  310a9404ed6a3fd9c1fd80740067ac2f: la vitesse de rotation dans le plan perpendiculaire non seulement à l’axe de rotation principal mais également à la direction de poussée de la force de perturbation  eebadfbaaa8eda4348de350f0720c124 ;
  •  eebadfbaaa8eda4348de350f0720c124: une force représentative d’une perturbation latérale. Par exemple on peut considérer un vent de 20 km/h qui donne une force de

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qui est d’ailleurs numériquement du même ordre de grandeur que le poids de la flèche (je prends volontairement une grosse flèche !).

  •  2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33: une estimation d’une longueur caractéristique du moment exercé par eebadfbaaa8eda4348de350f0720c124 typiquement la longueur entre le centre de poussée et le centre de gravité (I 50cm) ;
  • f42b7a5b430591c717b6c35b12ad0f49 : le moment d’inertie de la flèche autour de son axe principal. Cette quantité rend compte de la répartition de la masse autour de l’axe. La masse de la flèche est localisée essentiellement dans le fût et la pointe. Typiquement on a un cylindre creux pour le tube, et pour la pointe une partie conique et une partie cylindrique pleine. On calcule alors des moments d’inertie respectifs de l’ordre de (on prend une point de 200 grains, un tube de 300 grains et un diamètre de 9mm)

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et

e6a809975f37c8f4fedbb4a0ce434d16

D’où le moment d’inertie total a une valeur de

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On constate primo l’extrême faiblesse de cette valeur (exprimée en unité S.I) et secundo le fait que la pointe compte pour 1/5 du total (alors que sa masse compte pour 2/5).

Maintenant que l’on a les ingrédients, mettons tout ensemble à savoir que si la stabilisation gyroscopique avait lieu alors

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Donc, en principe plus 69471f2f3526a28e3485b0955bf55d90 est grand (vitesse de rotation sur l’axe grande) plus 310a9404ed6a3fd9c1fd80740067ac2f est petit (vitesse de rotation de l’axe dans le plan perpendiculaire).

Mais, le hic vient de l’application en pratique, car imaginons que l’on veuille que notre vent modéré n’affecte notre flèche qu’à raison de 7be1799434df05b7444c65986a125a00 tr/s alors il faut imaginer notre flèche tourner sur elle même à la vitesse vertigineuse de 10puis6trstr/s !!! Ce qui est totalement exclu !!!

Cela tient à la faiblesse du moment d’inertie de nos flèches et pourtant dans l’application numérique ci-dessus j’ai particulièrement chargé la barque...

Mais en fait ce qui nous importe c’est la façon dont la pointe qui va tourner sur un cône, oscille avec une amplitude trop grande ou non ?
L’expression de l’amplitude en approximation gyroscopique est de l’ordre de

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avec

  • 9c9cb098208ca73819cac1800e6a3e27m et ce85d5c0cea18dcbdc34f833ccf4b76e la longueur du tube et un FOC typique ;
  •  ee06e603b492236ad27bf439974d1714le moment d’inertie de l’ensemble tube-flèche par rapport à un axe passant par le centre de gravité perpendiculairement à l’axe principal de la flèche. Notons qu’il est plus grand que le moment selon l’axe principal, et on s’en rend compte quand on fait tourner la flèche comme une toupie (par ex. pour vérifier sa rectitude) et quand on joue au majorette...

En mettant tout ensemble, l’amplitude de la pointe serait donnée par

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Donc, par exemple si l’on voulait limiter cette amplitude à 1 mm alors il faut que la flèche tourne à plus de 550 tr/s pour cette brise de 20km/h considérée ici. Notons que si le vent double de vitesse d’après ce qui précède, sa force va être multipliée par 4, et il faudrait multiplier par 2 la vitesse de rotation à même amplitude d’oscillations.

Qu’en bien même la contrainte sur l’amplitude est nettement plus modeste que celle de la vitesse de giration, des vitesses de rotation de l’ordre de 500 tr/s ne sont pas envisageables pour autant. Quelques dizaines de tour par seconde à la rigueur. Dans ces cas là, on multiplierait par au moins 100 les effets sur l’amplitude si l’approximation gyroscopique était valable !!!

Epilogue

On conclue que l’usage des empennages hélicoïdaux ou collés à angle ne peuvent en aucun cas stabiliser le vol de nos flèches par effet gyroscopique.

Mais alors sont-ils pour autant inutile ? OUI ! En fait, leur action de faire tourner la flèche permet de répartir les défauts sur 360°, et de changer la trainée en aval donc influe sur le vol mais d’une manière qu’il n’est pas simple de modéliser. Il est donc inévitable de procéder à des essais en vraie grandeur. Pour certaines configurations, des archers confirmés ont pu mettre en évidence une amélioration à utiliser des empennages à effet de giration.

Donc à vos empenneuses !

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Sans rancune "J-E", mais cette maîtrise qui est la tienne ne pouvait pas rester en silence !

J'essaierai de regrouper un maximum d'info sur le calcul du "FOC", soit l'équilibrage AV/AR d'une flèche entre le poids de pointe et le poids de plumes. Des infos sont déjà disponibles sur le web mais ce n'est pas assez simple pour les nuls en maths comme moi.

Vous aurez peine à tirer le meilleur arc dans une gestuelle parfaite que votre résultat ne sera que décevant avec un mauvais projectile... Encore du réglage ! Chouette !!!

Le blog m'a permis de rencontrer Jean-Eric, tout comme d'autres personnes qui viennent enrichir nos connaissances pour être précis dans notre sport, et mieux le comprendre. Le tir à l'arc est un sport d'équipe, dans l'action et dans la réflexion pour atteindre l'excellence.

Qu'en pensez-vous ? Moi, "j'trouv'ça génial" !!!

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